خانه
گاما

درسنامه آموزشی فصل سوم هندسه (2) کلاس یازدهم ریاضی

درس 1: قضیۀ سینوس‌ها

بازدید7/1 K
تاریخ بروزرسانی1401/07/23

فعالیت (صفحه 62 کتاب درسی)

 

در کتاب ریاضی 1 (پایهٔ دهم) با تعریف نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه آشنا شدید. با توجه به تعریف سینوس زاویه در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABC$، جاهای خالی را پر کنید:

$a$$ \Rightarrow \frac{b}{{\sin B}} = $$\frac{b}{a}$$\sin B = $

$a$$ \Rightarrow \frac{c}{{\sin C}} = $$\frac{c}{a}$$\sin C = $

$a$$ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = $$\frac{a}{a}$$\sin A = \sin {90^\circ } = $

بنابراین داریم:

فعالیت (صفحه 63 کتاب درسی)

 

در کتاب هندسهٔ 1 دیدیم که عمودمنصف‌های اضلاع هر مثلث در یک نقطه همرس‌اند و در این کتاب دیدیم که این نقطه، مرکز دایرهٔ محیطی مثلث است. دایرهٔ محیطی مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABC$ را رسم می‌کنیم. مرکز این دایره، کجاست و چرا قطر آن با وتر مثلث برابر است؟

محل برخورد عمود‌منصف‌ها در هر مثلث قائم‌الزاویه وسط وتر است. پس مرکز این دایره وسط وتر است.

$\widehat {BAC} = {90^ \circ }$ یک زاویه محاطی است و اندازه کمان مقابل آن ${180^ \circ }$ یعنی وتر $BC$ دایره را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند، یعنی قطر دایره است.

با توجه به نتیجهٔ فعالیت اول می‌توانیم بگوییم:

اکنون نشان می‌دهیم این نتیجه‌گیری برای هر مثلث دلخواه نیز درست است.

فعالیت (صفحه 63 تا 64 کتاب درسی)

 

مثلث دلخواه $(\hat A \lt {90^ \circ })ABC$ و دایرهٔ محیطی آن به مرکز $O$ را در نظر می‌گیریم. قطر $BD$ را رسم، و $D$ را به $A$ وصل می‌کنیم. $(BD = 2R)$

1- زوایای $\hat C$ و $\hat D$ چرا با هم برابرند؟
این دو زاویه محاطی هستند و هر دو روبه کمان $AB$ هستند پس هم‌اندازه‌اند.

2- چرا مثلث $ABD$ در رأس $A$ قائم‌الزاویه است؟
زیرا زاویهٔ $A$ محاطی روبه‌ قطر دایره است. $\hat A = \frac{{BCD}}{2} = \frac{{{{180}^ \circ }}}{2}$ 

3- با توجه به دو قسمت قبل، داریم:

$ \Rightarrow \frac{c}{{\operatorname{Sin} C}} = 2R$$\frac{C}{{2R}}$$ \Rightarrow \operatorname{Sin} C = $$\frac{{C}}{{BD}}$$\operatorname{Sin} D = $   و  $\operatorname{Sin} C = \operatorname{Sin} D$

4- به‌طور مشابه خواهیم داشت:

$2R$$,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{b}{{\operatorname{Sin} B}} = $$2R$$\frac{a}{{\operatorname{Sin} A}} = $

5- حال مثلث $(\hat A \gt {90^ \circ })ABC$ را در نظر بگیرید. نقطهٔ دلخواه $A'$ روی کمان $BC$ را به $B$ و $C$ وصل می‌کنیم. زوایای $\hat A$ و $\hat A'$ نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟

$\hat A + \hat A' = ....$ بنابراین $\hat A'$ زاویه‌ای حاده است.

$\hat A + \hat A' = \frac{{AB'C}}{2} + \frac{{BAC}}{2} = \frac{{BA'C + BAC}}{2} = \frac{{360}}{2} = {180^ \circ }$

چون $\hat A \gt {90^ \circ }$ است پس $\hat A'$ حاده است.

با توجه به آنچه از مثلثات می‌دانید، جاهای خالی را پر کنید:

$\sin (180 - A') = \sin A'$$\sin A = $

در مثلث $A'BC$، طبق نتیجهٔ قسمت سوم می‌توانیم بنویسیم:

$2R$$ \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{a}{{\sin A}} = $$2R$$\frac{a}{{\sin A'}} = $

مثال 1: در مثلث $ABC$، $BC = 10cm$ و $\hat A = {120^ \circ }$ و $AC = \frac{{10\sqrt 6 }}{3}$ مقدار شعاع دایرهٔ محیطی مثلث و اندازه زوایای $\hat B$ و $\hat C$ را به‌دست آورید.

حل: به کمک قضیهٔ سینوس‌ها می‌توان نوشت:

$\sin {120^ \circ } = \sin ({180^ \circ } - {60^ \circ }) = \sin {60^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ و $\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \frac{{10}}{{\sin {{120}^ \circ }}} = 2R$

$R = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}$  و  $ \Rightarrow 2R = \frac{{10}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}$

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \frac{{\frac{{10\sqrt 6 }}{3}}}{{\sin B}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \sin B = \frac{{10\sqrt 6 }}{{20\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\hat A = {120^ \circ } \Rightarrow \hat B = {45^ \circ } \Rightarrow \hat C = {15^ \circ }$ و ${135^ \circ }$ یا $ \Rightarrow B = {45^ \circ }$

مثال 2: از یک بلوار افقی، یک خیابان فرعی باریک با زاویهٔ ${60^ \circ }$ جدا شده است. اکنون شهرداری منطقه می‌خواهد یک خیابان فرعی دیگر به طول 800 متر بنا کند تا با زاویهٔ ${45^ \circ }$ از خیابان فرعی اول جدا، و به بلوار منتهی شود. این خیابان از چه فاصله‌ای از رأس زاویهٔ ${60^ \circ }$ باید شروع شود و با بلوار چه زاویه‌ای می‌سازد؟

حل: با یک شکل مناسب مسئله را مدل‌سازی می‌کنیم. اولاً با توجه به مجموع اندازه‌های زوایای داخلی مثلث، روشن است که $\hat B = {180^ \circ } - ({45^ \circ } + {60^ \circ }) = {75^ \circ }$؛ یعنی خیابان فرعی باید با زاویهٔ ${75^ \circ }$ از بلوار جدا می‌شود. ثانیاً به کمک قضیهٔ سینوس‌ها در مثلث $ABC$ داریم:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow \frac{{800}}{{\sin {{60}^ \circ }}} = \frac{{BC}}{{\sin {{45}^ \circ }}} \Rightarrow BC = \frac{{800 \times \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = $

$\frac{{800\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{800\sqrt 6 }}{3} \approx 653/2m$

یعنی خیابان فرعی را باید از فاصله تقریبی 653/2 متر با زاویهٔ ${75^ \circ }$ بنا کنیم.

کار در کلاس (صفحه 65 کتاب درسی)

 

می‌خواهیم روی یک رودخانهٔ عمیق بین دو نقطهٔ $A$ و $B$ در دو طرف رودخانه، پلی بنا کنیم. برای محاسبات مربوط به احداث پل، باید فاصله ابتدا و انتهای آن (یعنی طول $AB$) را به‌دست بیاوریم؛ امّا امکان اندازه‌گیری مستقیم (به‌دلیل وجود رودخانه) وجود ندارد. برای این کار از نقطهٔ $A$ در جهتی حرکت می‌کنیم تا عبور از قسمت کم‌عمق رودخانه ($DE$) به نقطه $C$ برسیم و طول $BC$ را اندازه‌گیری می‌کنیم؛ سپس با زاویه‌یاب (تئودولیت) زاویهٔ دید $AC$ از نقطهٔ $(\hat B)B$ و زاویهٔ دید $AB$ از $(\hat C)C$ را اندازه می‌گیریم. به‌صورت زیر نشان دهید با داشتن طول $BC$ و زوایای $\hat B$ و $\hat C$ می‌توان فاصلهٔ $AB$ را به‌دست آورد:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{.....}} \Rightarrow \frac{{BC}}{{\sin ({{180}^ \circ } - (..... + .....))}} = \frac{{AB}}{{.....}} \Rightarrow AB = \frac{{.... \times ....}}{{\sin (....)}}$

اگر $BC = 3km$ و $\hat B = {70^ \circ }$ و $\hat C = {60^ \circ }$ به کمک ماشین حساب طول $AB$ را به‌دست آورید.

$AB = \frac{{3 \times \sin 60}}{{\sin (60 + 70)}} = \frac{{3 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sin (180 - 50)}} = \frac{{3 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sin 50}} \simeq 3/39$

تمرین (صفحه 65 کتاب درسی)

 

1- ثابت کنید در هر مثلث قائم‌الزاویهٔ $(\hat A = {90^ \circ })ABC$ با ارتفاع $AH = {h_a}$ داریم:

$\frac{1}{{h_a^2}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}$

$\frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{a.HC}} + \frac{1}{{a.BH}} = \frac{1}{a}\left( {\frac{1}{{HC}} + \frac{1}{{BH}}} \right) = \frac{1}{a} \times \frac{{HC + BH}}{{HC.BH}} = \frac{1}{a} \times \frac{a}{{h_a^2}} = \frac{1}{{h_a^2}}$

2- دو ایستگاه رادار، که در فاصلهٔ 20 کیلومتری از هم واقع‌اند، هواپیمایی را با زاویه‌های 30 و 45 درجه رصد کرده‌اند. فاصلهٔ هواپیما را از دو ایستگاه به‌دست آورید.

$\sin {105^ \circ } = \sin (180 - (30 + 45)) = \sin (30 + 45) = $

$\sin 30 \times \cos 45 + \cos 30 \times \sin 45 = \frac{1}{2} \times \frac{{\sqrt 2 }}{2} \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 6 }}{4} = \frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4}$

$\frac{x}{{\sin 30}} = \frac{y}{{\sin 45}} = \frac{{20}}{{\sin 105}} \Rightarrow x = \frac{{20 \times \sin 30}}{{\sin 105}} = \frac{{20 \times \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4}}} = \frac{{40}}{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }} \times \frac{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }}$

$ = \frac{{40\left( {\sqrt 2  - \sqrt 6 } \right)}}{{ - 4}} = 10\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)$

$y = \frac{{20 \times \sin 45}}{{\sin 105}} = \frac{{20 \times \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{4}}} = \frac{{40\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }} \times \frac{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }} = 20\sqrt 3  - 20$

درس 1: قضیۀ سینوس‌ها